Kuantum Mekaniği, Matematiği ve Felsefesi

Klasik mekanik, nesnelerin konum ve momentum bilgilerini kullanarak, çeşitli kuvvet alanları altında nasıl hareket etmeleri gerektiğini bulmaya çalışır. Kökleri çok eskiye dayansa da başlangıcının Newton’un Principia’sı olduğunu kabul etmek yanlış olmaz. Daha sonra Euler, Lagrange, Jacobi, Hamilton, Poisson, Maxwell, Boltzman  gibi birçok isim tarafından çok çeşitli bakış açıları geliştirilmiş ve birçok alanda başarılı bir şekilde uygulanmıştır. Klasik mekaniğin tamamlanmasını Einstein’ın görelilik kuramları ile gerçekleştiğini söylemek gerek. Klasik mekanikteki sorunun ne olduğunu anlatmak aşırı teknik olacaktır. Zaten biraz önce bu konuya değinmiştim ancak en yalın halde anlatmak gerekirse; klasik mekanik evreni sürekli olarak modelliyordu. Bu modelleme yanlıştı çünkü üç konum ve üç momentum ile tanımlanan parçacıklar, sonsuz sayıda parametreyle tanımlanan alanlarla bir aradaydılar. Eş dağılım kuramınca sistemin enerjisinin denge durumunda sistem bileşenlerine eş biçimde dağılması gerekir. Alanlar sonsuz bileşene sahip olduğundan bütün enerji alanlara kalır. Kuantum kuramı ise olayı bambaşka bir şekilde ele alır. Parçacıklar artık doğrudan üç konum ve üç momentum ile tanımlanmak yerine bir dalga fonksiyonu ile tanımlanırlar. Bu dalga fonksiyonu parçacığın bütün bilgisini içinde barındırır ve dalga fonksiyonuna uygun “sorular” sorularak gerekli bilgi alınır. Örneğin konum bilgisi için dalga fonksiyonuna “Parçacık nerede?” sorusunu sorarsınız, o size parçacık nerede diye sorduğunuz anda nerede olabileceğini söyler.

Matematik altyapısı yetersiz olanlar kafalarının karışmaması için şimdi vereceğim denklemleri görmezden gelebilirler. Matematiksel olarak olayı şöyle tanımlayabiliriz: Ψ(x,t) parçacığı tanımlayan dalga fonksiyonumuz olsun, <x>=int Psi^*(x,t)xPsi(x,t)dx, integrali bize x’in beklenen değerini verir. Yukarıda bahsettiğim soru sorma işlemi tam olarak bu şekilde yapılır. Benzer şekilde momentumun beklenen değeri için; <p>=int Psi^*(x,t)frac{hbar}{i}frac{d}{dx}Psi(x,t)dx şeklinde soru sorarız. Ψ * (x,t) dalga fonksiyonumuzun karmaşık eşleniğidir. Karmaşık eşlenik ve dalga fonksiyonu arasında kalan ifadeler gözlemlenebilirlerin, yani konum ve momentumun, konum uzayındaki operatörleridir. Operatörler sorunun ta kendisidir.

Konum ve momentum dışında birçok gözlemlenebilir ile işlem yapılabilir. Ancak konum ve momentum operatörleri kullanılarak diğer birçok operatörü elde etmek mümkündür. İşin ilginç yanı bu operatörle elde etmek için klasik formüller kullanılır. Örneğin kinetik enerji klasik mekanikte; T=frac{p²}{2m} şeklinde tanımlanır iken, kuantum fiziğinde kinetik enerji operatörü yine aynı ifadeyle yazılır. Tek fark “p” artık bir sayı değil operatördür. Bu bize Ehrenfest teoremince sağlanır ve bütün operatörleri klasik yasaları kullanarak türetebiliriz. Bu noktada “Peki, dalga fonksiyonu da neyin nesi?” sorusunu duyar gibiyim. Dalga fonksiyonu bize Schrödinger denklemi tarafından verilen, bir bakıma parçacığın kimlik kartıdır. Bir boyutta Schrödinger denklemi; ihbar frac{d}{dt}Psi=-frac{hbar²}{2m}frac{d²}{dx²}Psi+V(x,t)Psi şeklinde yazılabilir. İfade bir bakıma enerji denklemidir ve bahsettiğim kimlik kartını sistemin enerjisine göre verir. Burada kimlikten kastım parçacığın elektron mu yoksa nötron mu olduğu değil, momentumu, konumu, kinetik enerjisi gibi gözlemlenebilirler. Bu masum denklem çözüldüğünde parçacığımızın dalga fonksiyonunu elde etmiş oluruz. Sizi temin ederim en basit atom olan hidrojen atomunun zamandan bağımsız analitik olarak çözülmesi bile gerçekten büyük bir mesele. Neyse ki belli formalizmlerle, olayları yaklaşımlar yaparak çözmek mümkün oluyor.

Dalga fonksiyonu içinde sistemin bütün olası durumlarını barındırır. Siz soruyu sorduğunuzda size en olası cevabı verir ancak soru sorma işlemi dalga fonksiyonunu “dağıtır” ve siz bir daha sorduğunuz zaman artık başka bir cevap alırsınız. Bunun yanı sıra kuantum mekaniği, yapısından dolayı belirsizlikler barındırır. Bu belirsizlikler bir gözlemlenebiliri ne kadar iyi bilirseniz diğeri hakkında o kadar az şey bileceğinizi söyler. Örneğin konum ve momentum böyle bir çift oluşturur. Birini ne kadar iyi bilirseniz diğeri hakkında o kadar az bilginiz olur. Bu Heisenberg belirsizlik ilkesi olarak bilinir. Konum ve momentum için Heisenberg belirsizlik ilkesi şöyle gösterilir; sigma_xsigma_pgeqslant frac{hbar}{2} Bu ifade de σx ve σp ile verilenler sırasıyla konum ve momentumdaki belirsizliklerdir. Ele aldığım kuantum mekaniği, öklidyen bir uzayda çalışılmış kuantum mekaniğidir. Diğer bir deyişle göreceli değildir. Einstein’ın özel görelilik kuramına uyan bir kuantum mekaniği türetmek mümkündür. Hatta ilk bakışta kolay bir uğraştır. Kuantum fikrine ve özel göreliliğe biraz aşina olan biri bile çözüme kolayca ulaşır.

Yukarıda değindiğim Schrödinger denklemini daha sade bir formda şöyle ele alabiliriz; ihbar frac{partial}{partial t} Psi = HPsi. Burada H olarak verilen Hamiltonian operatörüdür. Relativistik olmayan serbest parçacık (potansiyel enerji sıfır) için Hamiltonian; H=frac{p²}{2m} olarak verilir. Relativisitk serbest parçacık içinse Hamiltonian; H=sqrt{m²c⁴+p²c²} şeklinde yazılabilir. İfade pek yabancı değil, değil mi? Hayır, dalga geçmiyorum. Olaya klasik mekanik açısından bakar iseniz parçacığın durduğunu kabul edelim, momentum sıfır olacak ve ünlü E = mc2 ‘yi elde etmiş olacaksınız. Şimdi relativistik Hamiltonianla Schrödinger denklemini yeniden yazalım; sqrt{(-ihbarmathbf{nabla})² c² + m² c⁴} psi= i hbar frac{partial}{partial t}psi. Karesini alır isek; mathbf{nabla}²psi-frac{1}{c²}frac{partial²}{partial t²}psi = frac{m²c²}{hbar²}psi olarak elde ederiz. Bu denklem Clein-Gordon denklemi olarak bilinir. Ancak denklem bir takım teknik nedenden ötürü sorunludur. Daha geçerli relativistik çözüm Dirac tarafından keşfedilmiştir ve kendi adıyla anılan denklemle verilir.

Kuantum mekaniği tarihi gelişimi boyunca birçok sınavdan alnının akıyla çıkmayı başarmıştır. Olguları büyük bir doğrulukla açıklaması, yeni olgulara ışık tutması bir teoriden beklenen özelliklerdir ve kuantum mekaniği bu işi gerçekten oldukça iyi başarmıştır. Kuantum fikirleri üzerine gelişen kuantum elektrodinamiği ve kuantum renk dinamiği bu güne kadarki hiç bir teorinin ulaşamadığı hassasiyetlerde sonuçlar vermişlerdir. Ne var ki geçtiğimiz yüzyılın çok büyük iki teorik açılımı bir biriyle uyuşmamaktadır. Doğada bilinen dört kuvvetten üçü, elektromanyetizma, zayıf ve güçlü kuvvetler, kuantum kuramlarıyla ele alınabilirken kütle çekimin henüz tutarlı bir kuantum kuramı bulunamamıştır. Her ne kadar sicim kuramları kuantum kütle çekime aday gibi görünse de çözülmesi gereken çok büyük sorunlar hâlâ bulunmaktadır. Günümüzde yaygın kanı kuantum ve kütle çekimin üstünde, doğrusal olmayan daha genel bir kuramın yer aldığıdır. Yani kuantum teorisi halen eksiktir, ve hâlâ bilmediğimiz o kadar çok şey var ki. Yeni ne öğrensek, o kadar şaşıracağız demek oluyor bu.

Kuantum mekaniği çok sağlam matematik temelleri üzerine kurulmuştur. Sistemlerin doğası bu matematikle modellenir. Ancak başlı başına bu modelleme kuantum mekaniğinin temel kavramlarının çözümlenmesinde yetersizdir. Örnek verecek olursak, Ψ(x,t) bir dalga fonksiyonudur. Bu dalga fonksiyonunun mutlak karesinin ise olasılık genliği olduğu ise bir yorumdur. Eğer bu yorumu araştırır ve genel bir çerçeveye oturtmak istersek, o zaman kuantum mekaniği felsefesi yapmış oluruz. Peki, Kuantum Mekaniği Tamamlanmış Bir Teori midir? Kuantum mekaniğinin temelleri; 1927 yılından, yani Heisenberg belirsizlik ilkesinin formüle edildiği yıldan bu zamana dek hiçbir değişikliğe uğramamıştır. Kuantum mekaniğinin uzantısı olarak ortaya çıkan teorilerde ortaya çıkan kavramlarda bildiğimiz kadarıyla bu temel ilkelerde değişiklik yapılmasını gerektirmezler. Kuantum mekaniği doğduğu andan itibaren temel ilkelerin anlaşılması bakımından büyük tartışmalara yol açmıştır. Bu tartışmalardan biride henüz önemini yitirmemiş “EPR Paradoksu”, A. Einstein, B. Podolsky ve N.Rosen tarafından 1935 yılında ileri sürülmüş; “Doğanın Kuantum Mekaniksel Tasviri Tamamlanmış Kabul Edilebilir mi?” başlığıyla yayınlanan makalede dile getirildi. EPR makalesi bir fizik teorisinin tamamlanmış kabul edilebilmesi için iki temel koşulu yerine getirmesi gerektiğini söyler. Bunların ilki teorinin doğruluğu, ikincisi ise teorinin tamamlanmışlığıdır.

EPR makalesine göre teorinin doğru olarak nitelendirilebilmesi için teorinin deney sonuçlarıyla uyumluluğu göz önüne alınmalıdır. Bu bakımdan kuantum mekaniği deneylerle büyük bir uyum gösterdiği için doğru kabul edilir. Merak edenler için teoriyi yukarıda belirttim, linkini verdim. Teorinin başarısı için gerekli olan diğer koşul olan tamamlanmışlık için ise makalede şu koşul verilmiştir: “Bir fizik kuramında, her fiziksel gerçekliğe karşılık olan bir öge bulunmalıdır.” Bu ifade ileri bölümlerde detaylı olarak ele alınacaktır. Makalede fiziksel gerçeklik şu şekilde tanımlanmıştır: “Bir fiziksel niceliğin değerini, dinamik sistemi herhangi bir biçimde bozmaksızın kesinlikle tahmin edebiliyorsak, o zaman, fiziksel gerçekliğin, bu fiziksel niceliğe karşılık olan bir ögesi vardır.”

Fiziksel niceliğin kesin bir değerini, dinamik sistemi bozmadan teoride elde edebiliyorsak, o zaman, teoriden hesap ile elde edilen bu kesin değer fiziksel gerçekliğin bir öğesine karşılık gelecektir. Ancak fiziksel gerçekliğin bütün öğelerinin fizik teorisinde karşılıklarının bulunması gerektiğine dair bir koşul ileri sürülmemiştir. Bu nedenle, “EPR’ye göre doğru olan teorinin aynı zamanda tamamlanmış olması gerekmez. Fiziksel gerçeklik ölçütünün kuantum mekaniği çerçevesinde nasıl kullanıldığı makalede şu örnekle açıklanmıştır. Elimizdeki parçacık Φ(p) fonksiyonu ile gösterilsin. Fonksiyonu; Φ(p) = ∑ ajφj(p) j şeklinde gösterelim. Bu parçacığın momentumu ölçülmeden önce şu önerme ileri sürülebilir: Parçacığın momentumunun ölçümden sonra pi değerini alma olasılığı | ai | 2 dir. Ayrıca; ∑ | aj | 2 = 1 olduğunu kabul edelim. Eğer alınabilecek birden çok momentum değeri mevcutsa | ai | 2 1’e eşit değildir. Bu nedenle fiziksel gerçeklik ölçütü bu durumda kullanılamaz.

Yazar: Diamond Tema